Клименко является воспитанником «Автодора» и защищал цвета клуба с 2010 по 2018 год. В составе саратовской команды он стал чемпионом Суперлиги (2013/2014).
Клименко провел последние два сезона за «Зенит», в составе которого стал двукратным обладателем Суперкубка Единой лиги ВТБ и обладателем Кубка России. В минувшем чемпионате Единой лиги ВТБ в 32 матчах он набирал 2,0 очка и 1,4 подбора в среднем за игру.